最近、ユーチューブなどの動画サイトには、非常に優れた動画が多数あがっています。なかでも興味深いのは、「予備校のノリで学ぶ『大学の数学・物理』」というチャンネルで優れた動画を多数アップロードされている、「ヨビノリたくみ」先生というユーチューバーの方です。今から約1年半前の動画で、「罹患率が低い病気で、無差別に検査を実施しても意味がない」とする解説をされているのですが、これについて紹介しておきたいと思います。

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ベイズの定理

「ベイズの定理」、というものがあります。

これは「条件付確率」、つまり「ある事象Aが発生する」という条件のもとで、ほかの事象Bが発生する確率を求めるという、確率統計の分野における定理のひとつです。

これについて、なかなか興味深い動画を発見しました。

講師は「ヨビノリたくみ」先生というユーチューバーの方ですが、これがめっぽう面白いのです。

チャンネル名称は「ヨビノリ」、つまり「予備校のノリで学ぶ『大学の数学・物理』」というもので、講師のヨビノリたくみ先生は口調が軽快でありながら、内容は極めてハイレベルです(ちなみにリンク先動画のアップロード日はコロナ禍が発生するよりも1年以上前の2019年1月9日です)。

ヨビノリたくみ先生のチャンネル登録者数は昨晩時点で47.5万人で、ほかに上げていらっしゃる動画も、「中学数学からはじめる相対性理論」だの、「今週の積分」だの、軽快でわかりやすい口調でありながら極めてハイレベルという、とても貴重なチャンネルです。

個人的には、この動画シリーズがあればNHK教育など不要だと思うほどです。

偽陽性と偽陰性

さて、リンク先動画のなかで興味深いのは、「罹患率0.01%の病気があるとする」、「その病気にかかっているかどうかを判別するための検査がある」、「ただし検査では偽陽性・偽陰性が一定確率で発生する」、という説明の部分です。

これについて当ウェブサイトなりに解説すると、次のような設例です(図表1)。

図表1 偽陽性・偽陰性
 陽性となる確率陰性となる確率
実際には病気にかかっている98%2%
実際には病気にかかっていない20%80%

(【出所】リンク先動画を参考に著者作成)

つまり、実際に病気にかかっているかどうかは検査をしてみないとわからないのですが、その病気の場合、「実際に病気にかかっている」ならば98%の人が「陽性」と判定されるものの、間違って「陰性」と判定される確率が2%だったとします(間違って陰性と判定されることを「偽陰性」と呼びます)。

また、逆に、実際に病気にかかっていないならば、80%の人は「陰性」と判定されるものの、間違って「陽性」と判定される確率が20%だったとしましょう(間違って陽性と判定されることを「偽陽性」と呼びます)。この検査では「罹患しているか疑わしい人」を陽性と判定しやすい、ということでしょうか。

そして、罹患率(社会全体でその病気にかかっている人)が0.01%(つまり1万人に1人)だったとしましょう。このとき、とにかく無差別に検査を実施したら、いったい何が発生するでしょうか。

ヨビノリたくみ先生によると、結論的には「検査で陽性となった」としても、実際にその病気にかかっている人は約0.05%しかいない、と述べます。

そんなバカな!

「陽性に患者はたった0.05%」、数式を使わないで説明してみた

これについては、ヨビノリたくみ先生の動画を視聴していただければ、「なぜ罹患率0.01%の場合、無差別に検査を実施しても、『陽性』のなかに本物の患者が0.05%しか罹患していないのか」がよくわかると思うのですが、本稿ではあえて数式を使わずに、これについて解説してしまいましょう。

仮に人口が100万人の都市があったとします。このとき、「罹患率は0.01%」ということがわかっているとすれば、この都市のなかで病気にかかっている人は100人です(=100万人×0.01%)。

では、この100人を検査によって特定することは可能なのでしょうか。

よくわからないので、とにかく片っ端から検査することにしてみましょう。すると、検査の結果、次のとおりとなるはずです。

図表2 無差別に100万人を対象に検査を実施した場合
 検査で陽性判定が出た人検査で陰性判定が出た人合計
病気にかかっている人98人2人100人
病気にかかっていない人199,980人799,920人999,900人
合計200,078人799,922人1,000,000人

(【出所】著者作成)

計算は、これで合っていると思います。

人口100万人中、「病気にかかっている人」は全部で100人、「病気にかかっていない人」は99万9000人です。一方で、検査で陽性判定が出た人は200,078人、検査で陰性判定が出た人は799,922人となるはずです。

罹患率が低い/偽陽性率・偽陰性率が高いほど、全員検査に意味がない

さて、ここで問題です。

「検査で陽性判定が出た人」200,078人のなかで、「実際に病気にかかっている人」はいったい何%含まれているのでしょうか。電卓があれば「98÷200,078」と打ち込めば誰にでも計算できますが、正確にいえば0.048980897…%、ざっくりいえば0.05%(!)であることが確認できるでしょう。

つまり、罹患率が低ければ低いほど、また、偽陽性・偽陰性となってしまう確率が高いほど、その検査を全人口に対して実施しても意味がないのです。せっかく100万人全員に対して検査を実施したのに、実際には病気にかかっていない199,980人もの人に対して誤って陽性判定が出てしまうのです。

この場合、「陽性」と判定された200,078人に関しては、そのなかで罹患している人98人を特定するために、さらに再検査をしたりしなければなりません。疫病が流行している際に、貴重な医療リソースをこんな効率の悪い検査で潰すとは愚の骨頂でしょう。

もちろん、罹患率が上昇すればするほど、「無差別に検査を実施した場合」の検査の有効性は上昇します。たとえば、罹患率が50%だった場合、この検査で陽性だった人が本当に病気にかかっている確率は約83.05%にまで上昇します。

しかし、罹患率が1%だった場合は、この検査で陽性判定が出たとしても、実際に罹患している確率は約4.72%に過ぎないのです。

※ ※ ※ ※ ※ ※ ※

さて、今回の武漢コロナ禍では、ごく一部のメディアからは、「なぜ希望する全員に対してPCR検査を実施しないのか」、などと安倍政権を批判する論調が出ていました。

これについてはコロナ関連の読者投稿のなかでも指摘されている稿がありましたが、あらためてベイズの定理を使ってみれば、少なくとも「無差別にPCR検査を行わないこと」の効果は明白ですし、安倍政権による、「一定の基準を満たした人のなかから保健所などの判断で検査する」という方針は正解でした。

このあたり、「日本のコロナ患者数が少ないのはPCR検査を無差別に実施していないからだ」とする言説自体、明らかにおかしなものと言わざるを得ませんし、「PCR検査を実施しろ」と主張するメディアは、わざと医療崩壊を発生させようとしていると批判されても仕方はないでしょう。

なお、「罹患率」自体が「なぜ0.01%なのか」、「これはどうやって推計するのか」といった疑問を持つ方もいらっしゃるかもしれませんが、そういう方こそ是非、ヨビノリたくみ先生の動画を視聴していただくのが良いと思います。個人的には「逐次ベイズ推定」の部分、非常に参考になりました。

ヨビノリたくみ先生、良い動画を大変ありがとうございました。

※本文は以上です。

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